Salut tout le monde,

voilà, j'ai exam de math le 6 janvier avec Mr Bieliavsky, et parmi une question de l'examen de janvier passé il y en a une qui me pose problème.

Voici l'énoncé:

"On considère le graphe S :=Graphe(f) de la fonction:

f : D inclus R² --> R : (x, y) --> 1-x²-y²

où D est le disque de rayon unité

D := { (x, y) € R² | x² + y² <1 }.

a) Le graphe S définit-il une surface paramétrisée dans R³? Justifier
b) Si oui, calculer le flux du champ de vecteurs dans R³ : X(x, y, z) := (x, y, z) à travers la surface S."

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider svp? Parce que je comprends rien à cet exo. Et si c'est possible d'avoir une marche à suivre ca serait encore plus énorme.

Merci d'avance

Salut !

Une surface paramétrisée ça veut juste dire que tu peux trouver une fonction phi : D -> graphe qui soit continue et localement injective. Or un graphe d'une fonction continue (de R^2 dans R) définie sur un ouvert (c'est le cas puisque c'est la boule ouverte de rayon 1 centrée en 0) peut toujours être paramétrisé en envoyant (x,y) sur (x,y,f(x,y)). Tu vérifies que c'est localement injectif (puisque x -> x est injectif) et continu (enfin à partir du moment où ta fonction est continue).

Ensuite, calculer le flux c'est juste calculer l'intégrale du produit scalaire entre ton champ de vecteurs et ton champs de vecteurs normaux à la surface. (qu'on trouve en faisant le produit vectoriel entre la dérivée par rapport à la première variable et la dérivée par rapport à la deuxième variable)
Mais comme dirait ce cher Denis : j'ai pas envie de le faire^^

En espérant t'avoir aidé

Ok, merci pour ces précisions, mais concrètement, comment je peux prouver que c'est bel et bien une paramétrisation?

enfin, ce que je veux dire plutôt, c'est, quelles sont les étapes permettant de justifier cette paramétrisation?

Désolé de vous embêter, mais les maths et moi, ça fait deux!

Encore merci!

Beh c'est tout prouvé puisque c'est défini sur un ouvert, localement injectif et continu

Maintenant pourquoi justifier que c'est ça, ben regarde la définition de 'graphe' et pour moi c'est ça {(x,y,z) dans R³ tel que z = f(x,y)} après je ne sais pas comment ce cher Pierre a défini tout ça