Voila une solution:
Petit préambule, je n'ai jamais donné cette partie de cour en Médecine, je ne suis donc pas au courant de vos conventions. Je vais donc utiliser les conventions des bioingénieurs, en explicitant a chaque fois ce que chaque lettre/symbole signifie.
Je vais éviter d'utiliser trop les notations vectoriels, ne sachant pas trop a quelles points celles ci ont été utilisées. Ceci n'est donc pas l'optimum pour les physiciens qui
doivent utiliser la notation vectorielle.
Pour les conventions de signes: j'ai pris que l'accélération angulaire étais positive dans les sens horloger.
J'ai également supposés (sans perte de généralité) que les deux masses étaient du coté gauche de la poulie. Le fait qu'elles soient toutes les deux du meme coté est imposé par l'énoncé. (Le choix de gauche permet juste de fixer les signes univoquement).
SolutionsPour commencer, il est important de constater que nous avons trois objet différent.
- La masse
- La masse
- La poulie (de moment d'inertie )
Ces objets exercent des forces les uns sur les autres. Ces forces sont responsables du mouvement. Nous devons donc faire des bilans de forces sur chaque objet séparément.
- Masse
Deux forces s'exercent sur cet objet: La gravité et la tension de la corde.
En regardant la composante verticale:
(, positif si l'objet monte!)
De plus n'est pas arbitraire. En effet la poulie tourne et la corde s'enroule autour de celle-ci sans glisser. Nous avons donc que la vitesse de la masse (noté ) est lié a la vitesse de rotation de la poulie par la formule: . En dérivans cette équation nous avons bien sur la relation équivalente pour les accélérations:. ou est l'accélération angulaire de la poulie.
L'équation ci-dessus se réécrit donc:
- Masse
Si tu as compris ce qui se passe pour la masse 1, tu comprendras que tous est exactement similaire pour la seconde, il n'y a que les masses et les rayons impliqués qui changent. Le fait que les masses avancent dans le meme sens nous indique qu'il n'y a pas de problème de signe (sinon nous aurions du prendre )
- Poulie
La poulie, contrairement au masse est soumies a un mouvement de rotation et non pas un mouvement de translation. L'absence de mouvement de translation implique donc que la somme des forces doit etre nul:
(toujours en composante horizontale)
est la force appliquée par le mur pour maintenir la poulie. On ne sait rien de cette force a part qu'elle s'exerce au centre de la poulie.
cette dernière equation n'as que peu d'interet quisqu'il amène une nouvelle inconue: , nous ne l'utiliserons donc pas.
Concentrons donc nous sur le mouvement de rotations:
Nous savons que celuis-ci est régis par l'équation:
ou est le moment de force de la force
Nous allons donc commencer par calculer le moment de force de chacune de nos 5 forces:
- moment de force de la corde 1
le bras de levier est de
l'angle est de 90°
=>
- moment de force de la corde 2
le bras de levier est de
l'angle est de 90°
=>
- moment des 2 forces de gravité
le bras de levier est car les forces s'appliquent au centre de gravité du cylindre c'est a dire au centre de celui-ci
- moment de la forces de réaction du mur
le bras de levier est car cette force s'applique au centre de la poulie
Nous avons donc
(attention au signes, ceux ci sont obtenus par les règles vectorielles,(règle de la main droite)
Resolutions des equationsNous nous retrouvons donc devant trois équations a trois inconues. Le système est donc (a priori) résolubles.
Remarque: A partir d'ici nous ne faisons plus de la physique mais des math!!
Les 3 équations a résoudre sont donc:
où les trois inconues sont
La seule variable qui nous interesse vraiment c'est
En multipliant la première équation par
, la seconde par
et en additionant les Trois on obtient facilement:
Ce qui donne donc l'accélération angulaire:
on vérifie aisément
- que l'expression a gauche donne bien une accélération angulaire
- Que cette accélération est négative: cela veut dire que la roue tourne dans le sens anti-horologer (du a ma convention) ce qui est normal vu la position de mes poids: du coté gauche!!
- Qu'il y a une symétrie 1-2 (si on change les masses et les rayons)
Ceci est trois test nous indiquant que je n'ai pas faits une erreur grossière.
mouvement de la masse 1Comme
est constant,
l'est aussi.
Nous avons donc un MRUA
étant négatif,
le sera aussi, cela indique que la masse descend.
pour rappel, par hyppothèse,
.